High Card Flush (HCF) — это относительно новая игра, которая получила звание «Лучшей игры» на Конференции по новым настольным играм в 2012 году. Недавно Стивен Хао доказал, что в HCF есть серьезная проблема с коллузией. Если за столом сидит шесть игроков, которые делятся полной информацией о своих картах, они могут получить преимущество над казино в 7,3%. Он предложил практическую стратегию, которая дает преимущество игроку в 3,1%. В данной статье представлена моя аналитическая оценка коллузионной стратегии в HCF.

Правила HCF достаточно просты:

• Игрок делает ставку «Ante» (Анте).
• Игрок и дилер получают по семь карт, закрытых лицевой стороной.
• Игрок формирует наивысший комбинированный флеш из своих семи карт. Флеши ранжируются по количеству карт в комбинации, чем больше карт, тем выше ранг. Флеши с одинаковым количеством карт ранжируются по старшей карте.
• Игрок может либо сбросить карты и отказаться от Анте, либо сделать ставку «Play» (Игра) для соревнования с дилером.
• Ставка «Play» зависит от количества карт во флеше игрока: 1х для флеша из двух, трех или четырех карт, 2х для пятикарточного флеша, 3х для флеша из шести или семи карт.
• Затем дилер открывает свои карты и составляет свой лучший флеш. Дилер должен иметь как минимум тройку с девяткой в качестве старшей карты для квалификации.
• Если дилер не квалифицируется, ставка Анте побеждает, а ставка Play остается без изменений.
• Если дилер квалифицируется, то игрок и дилер соревнуются. Если игрок выигрывает, то ему платят деньги за ставки Анте и Play. Если игрок проигрывает, то он теряет ставки Анте и Play. Если игрок и дилер сыграли вничью, то ставки Анте и Play остаются без изменений.

На столах HCF обычно места для шести игроков. Поскольку каждому игроку сдают по семь карт, для карт дилера остается только 10 неизвестных карт. Эти 10 карт назовем «остатком». Малый размер остатка делает коллузию такой сильной в HCF.

Следующая таблица основана на симуляции двух миллиардов (2,000,000,000) раундов HCF, где игроки используют идеальную стратегию коллузии. Эта стратегия на практике невозможна. Моя программа вычислила оптимальную стратегию на ходу для каждой раздачи.

Таблица коллузионного анализа в HCF при идеальной игре:

В частности:

• Преимущество игрока при идеальной коллузии из шести человек составляет 7,327%.
• Стандартное отклонение при идеальной коллузии из шести человек составляет 1,598.

Стратегия коллузии при использовании пяти игроков дает преимущество казино около 0,61%. Просто нет достаточно информации, чтобы преодолеть преимущество казино. Иными словами, преимущество невозможно, если за столом играют пять или меньше игроков, коллаборирующих между собой.

Игра с высоким преимуществом и низкой волатильностью — именно то, что ищут профессиональные игроки. И кажется, HCF подходит для этого. К сожалению, у таких игроков возникает практическая проблема. Идеальная стратегия, которая дает игрокам преимущество в 7,327%, неизвестна. В блоге Стивена Хао представлена простая стратегия для игроков, которая дает преимущество около 3,1%. В данной статье я представляю более сложную стратегию, которая дает преимущество игроку свыше 4%.

Предположим, что за столом сидит команда из шести профессиональных игроков. Четверо из них отвечают за подсчет карт каждой масти. Каждому игроку назначается одна из мастей: «трефы», «бубны», «червы» или «пики». Члены команды обмениваются информацией о своих картах. Каждый из четырех игроков подсчитывает количество карт своей масти. После этого каждый игрок вычисляет количество карт своей масти в остатке, вычитая свою цифру из 13 (в остатке всего 10 карт). Полученное число каждый игрок сообщает остальным членам команды.

Важно заметить, что сумма четырех чисел, полученных игроками, должна равняться 10 (ведь всего 10 карт в остатке). Вот полный список 23 возможных распределений мастей:

(0,0,0,10), (0,0,1,9), (0,0,2,8), (0,0,3,7), (0,0,4,6), (0,0,5,5), (0,1,1,8), (0,1,2,7), (0,1,3,6), (0,1,4,5), (0,2,2,6), (0,2,3,5), (0,2,4,4), (0,3,3,4), (1,1,1,7), (1,1,2,6), (1,1,3,5), (1,1,4,4), (1,2,2,5), (1,2,3,4), (1,3,3,3), (2,2,2,4), (2,2,3,3).

Излишне сложно дать конкретные пороговые значения для каждого из этих распределений. Это будет слишком много информации для передачи за столом в реальном времени. Стивен Хао понимал, что такая стратегия неосуществима на практике, и предложил более простую стратегию с небольшим подмножеством этих распределений. Однако моя стратегия учитывает человеческую возможность исполнения коллузионной стратегии, требующей немного больше усилий от участников команды.

Представьте, что один из игроков подсчитывает карты своей масти и пытается сообщить эту информацию остальным участникам команды в реальном времени. Как он это сделает? Он не будет говорить свое число вслух. Также он не захочет выкладывать перед собой определенное количество фишек (от 0 до 10), чтобы сигнализировать о количестве карт своей масти. Метод, который я предлагаю, требует, чтобы игрок сигнализировал только числа 0, 1 или 2, или вообще не сигнализировал.

Вот как это работает. Если игрок определяет, что в остатке находится 0, 1 или 2 карты его масти, то он сигнализирует это число своей команде. Если игрок определяет, что в остатке находится 3 или более карты его масти, то он не сигнализирует. Он может дискретно передать эти значения, например, касаясь одним из трех пальцев на правой руке правым большим пальцем или создавая стопку из 0, 1, 2 фишек или вообще не делая никаких движений. И так далее.

Иными словами:

• Если игрок обнаруживает 10 или менее карт своей масти среди шести рук, то он не сигнализирует.
• Если игрок обнаруживает 11 карт своей масти, он сигнализирует «2».
• Если игрок обнаруживает 12 карт своей масти, он сигнализирует «1».
• Если игрок обнаруживает 13 карт своей масти, он сигнализирует «0».

Таким образом, существует 18 возможных комбинаций сигналов, которые могут давать игроки. В следующей таблице перечислены эти 18 комбинаций сигналов, а также соответствующие остатки:

Стратегия коллузии основана на комбинации сигналов, полученных игроками. В следующей таблице приведена стратегия коллузии для каждой из 18 возможных комбинаций сигналов. Я не утверждаю, что эта стратегия оптимальна. В стратегии я использовал «округление», чтобы принятие решений было как можно проще для запоминания.

Например, если комбинация сигналов (2, 2 ,2), то коллаборирующие игроки должны играть любую комбинацию карт.

Если комбинация сигналов (1, 2, 2), то игроки должны играть флеш из трех карт, начиная с дамы, или выше. Если комбинация сигналов (0, 1, 2), то следует сбросить любую комбинацию, которая не является флешем из пяти карт и выше.

Таблица, которая следует за этой, основана на симуляции двух миллиардов (2,000,000,000) раундов HCF, в которой игроки используют стратегию коллузии на основе комбинации сигналов, описанной выше.

Таблица анализа коллузии в HCF по комбинации сигналов:

В частности:

• Преимущество игрока при использовании стратегии коллузии на основе комбинации сигналов составляет 4,062% над казино.
• Стандартное отклонение составляет 1,615.
• Самая выгодная для игрока комбинация (2,2) среди всех комбинаций сигналов дает ожидаемый выигрыш в размере 0,502 единицы.

Чтобы оценить потенциал прибыли, предположим, что за столом HCF сидят шесть профессиональных игроков, а предел ставки составляет $100. Игра проходит с темпом 40 раундов в час. Тогда команда игроков сможет зарабатывать в сумме (40) х (6) х ($100) х (4,062%) = $975 в час за столом. При предельной ставке в $100 это, возможно, не стоит для большинства команд профессиональных игроков. Однако предел ставки в $500 наверняка привлечет лучших из них и позволит команде зарабатывать около $5000 в час.

Очевидно, что сбрасывать комбинации из 4, 5 или 6 карт будет вызывать недоумение у наблюдающих за игрой. Поэтому важно сохранять непрерывность и никогда не сбрасывать такие комбинации. Стратегия непрерывности, которую можно использовать, заключается в том, чтобы никогда не сбрасывать комбинации из 4 карт и выше:

Таблица стратегии коллузии в HCF с непрерывностью:

Используя стратегию коллузии с непрерывностью, почти не теряется EV (ожидаемая стоимость) игры. В следующей таблице представлен анализ симуляции одного миллиарда (1,000,000,000) раундов HCF с использованием стратегии коллузии с непрерывностью.

Таблица анализа коллузии в HCF по комбинации сигналов с непрерывностью:

В частности, использование стратегии коллузии с непрерывностью дает преимущество игроку в 4,041% над казино. Эта стратегия всего на 0,02% слабее, чем полная стратегия коллузии, и все еще превышает стратегию Хао почти на 1%.

Любое казино, предлагающее HCF, должно быть осведомлено о его уязвимости и принимать меры по защите игры. Вот несколько предложений:

• Не беспокойтесь, если играют пять или менее игроков.
• Уменьшите количество игровых мест с шести до пяти.
• Не позволяйте игрокам смотреть на карты друг друга или обмениваться информацией о своих руках.
• Обратите внимание, когда все места за столом заняты, игроки играют на максимальных ставках и обмениваются информацией.
• Обратите внимание на сигналы между игроками.
• Обратите внимание на любые другие признаки того, что команда играет против правил игры.