«Если весь этот долгий срок сто пятьдесят семь монеток подряд выпали орлами… сто пятьдесят семь раз подряд, и всё, что вы можете сделать, это играть со своей едой.» — из пьесы «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» Тома Стоппарда

Когда игрок без преимущества на протяжении длительного времени побеждает казино, обычно возникают две существенные последствия, особенно если игрок ставит высокие ставки. Во-первых, игрок, скорее всего, поверит, что у него есть система, позволяющая победить казино. Во-вторых, казино может затратить значительные ресурсы на расследование игрока-неудачника. В обоих случаях иллюзия мастерства возникает из-за недостаточного понимания статистической неизбежности и так называемой «долгосрочной перспективы». В этой статье я рассмотрю вопрос о том, как долго обычный игрок в блэкджек может побеждать казино исключительно благодаря удаче.

В целом, игрок в блэкджек, использующий идеальную базовую стратегию, получает преимущество казино от примерно 0,14% до 0,65%, в зависимости от игры, которую он выбирает (при условии, что игрок не настолько безрассуден, чтобы играть в BJ 6:5). Средний игрок, которого я рассматриваю, допускает несколько ошибок в базовой стратегии, что приводит к преимуществу казино в 1,0%. Кроме того, стандартное отклонение для большинства вариантов блэкджека составляет примерно от 1,14 до 1,16. Поскольку стандартное отклонение для неизвестной стратегии и неизвестной игры не может быть рассчитано, я приму среднее значение в 1,15 как компромисс. Также я сделаю допущение, что игрок всегда делает одинаковые ставки на каждую руку.

Ниже приведена таблица вероятности того, что казино проиграет против «среднего игрока», описанного выше, после определенного числа рук, от 100 до 100 000 рук:

После 100 рук 46,5% таких средних игроков будут побеждать казино. После 10 000 рук процент побеждающих казино игроков упадет до 19,2%. При темпе игры в 100 рук в час, почти каждый пятый игрок со средними навыками будет побеждать казино после 100 часов игры. Однако удивительным результатом является последний пункт в этой таблице. После 100 000 рук, около 1000 часов игры, один из 335 игроков будет продолжать побеждать казино.

Против таких удачливых игроков казино бессильно. Они должны существовать просто благодаря случайности. Ни одно «выровнять счет» не может изменить статистическую неизбежность. В большом казино будет достаточно много игроков, чья удача кажется продолжительной и непонятной. Если одним из этих игроков окажется крупный игрок, ситуация может обостриться. Часто казино тратит ценные ресурсы на расследование такого игрока. Иногда казино просто выгоняет игрока без веской причины, говоря нечто вроде «мы не можем его победить». Часто нет логических аргументов, которые бы убедили руководство в том, что этот игрок в будущем будет проигрывать. Они считают, что будущие результаты игрока будут похожи на его прошлые результаты — другими словами, они ожидают, что этот игрок будет продолжать побеждать.

С другой стороны, я не могу перечислить, сколько раз мне говорили, что их родственник, друг или коллега является «профессионалом», который всегда побеждает казино. Я перестал сомневаться в этих людях; они правы, конечно. Их знакомые действительно побеждали казино на протяжении сотен часов. Однако раздражающим следствием является то, что эти игроки начинают писать книги, размещать сообщения на форумах или хвастаться публично своими знаниями и умениями. Они часто представляют слабые аргументы о том, как им удалось достичь успеха и защищают свои позиции при помощи насмешек и двусмысленных ответов. Нет аргументов, которые бы могли убедить такого игрока в том, что он просто счастливчик, который существует по законам вероятностной модели игры.

В следующей таблице показано количество рук, необходимых для достижения определенного уровня уверенности в победе над игроком. Я привел результаты как для среднего игрока, которого мы рассматривали ранее, так и для игрока с идеальной базовой стратегией, который играет в стандартную двухколодную игру:

Например, рассмотрим запись при 90% уровне уверенности для обычного игрока. Эта таблица показывает, что для того, чтобы казино имело 90% шанс победить среднего игрока, потребуется 21720 рук. Иными словами, 10% всех обычных игроков все еще будут побеждать казино после 21720 рук. Точно так же, после 126293 рук казино будет иметь 99,9% шанс победить среднего игрока. Иными словами, один из 1000 игроков будет продолжать побеждать казино после 126293 рук, просто благодаря случайности. Если этим игроком окажется крупный игрок, он представит серьезную проблему для управления казино и защиты игры.

Теперь рассмотрим игрока с идеальной базовой стратегией, указанного в верхнем ряду таблицы. В этом случае количество рук, необходимых для достижения различных уровней уверенности, значительно возрастает. Теперь для того, чтобы иметь 90% уверенности в победе над таким игроком, потребуется 145298 рук. Для достижения 99% уверенности потребуется целых 478480 рук. Иными словами, после 478480 рук один из 100 игроков с идеальной базовой стратегией все еще будет побеждать казино! Это больше, чем вся жизнь блэкджека для большинства игроков. Простыми словами, если игрок использует идеальную базовую стратегию, нельзя ожидать разумных долгосрочных результатов, связанных с его победами.

Среди всего множества игроков, которых видит казино, будет значительное количество игроков с долгосрочными успехами, даже среди игроков с обычным уровнем навыков. Чтобы увидеть эту статистическую неизбежность с другой стороны, я провел симуляцию 25 игроков с идеальной базовой стратегией. В этой симуляции я предположил, что они играли в игру (6D, H17, DOA, DAS) с преимуществом казино в 0,61%. Каждый игрок сыграл 100 000 рук, и я отслеживал и отображал их результаты по ходу игры. Ниже показаны результаты этой симуляции (нажмите на изображение, чтобы увеличить его):

Прямая красная линия в середине показывает «теоретический проигрыш» игроков. Эта линия представляет собой сумму, которую казино ожидает выиграть у игрока после определенного количества рук. Кривые красные линии выше и ниже этой прямой показывают +2, +1, -1 и -2 стандартных отклонения от теоретического значения соответственно. Текущий результат для каждого из 25 игроков в зависимости от количества сыгранных рук отображается слева направо в терминах выигранных или проигранных «единиц».

Обратите внимание, что из 25 игроков один из них закончил впереди после 100 000 рук (см. верхнюю зеленую линию). Этот игрок закончил впереди на примерно 300 единиц. Если его единица стоила $10, то его выигрыш составил бы $3000, и никто бы этому не придал значения и не обратил бы внимания. Но если его единица стоила $1000, то его выигрыш составил бы $300,000, и он стал бы объектом расследования. Как этот игрок видит себя? Скорее всего, он и его друзья уверены, что он — опытный игрок, даже если он не понимает, в чем именно заключается его умение.

С другой стороны, нижний зеленый игрок явно неудачник, находящийся на уровне двух стандартных отклонений ниже нормы по результатам. После 100 000 рук этот игрок потерял около 1300 единиц. С ставкой в $10, этот игрок потерял около $13,000. Если бы этот игрок был крупным игроком с единицей в $1000, он потерял бы около 1,3 миллиона. Как этот игрок видит себя? Он — крупный неудачник в блэкджеке, который раздражается от того, что другие игроки делают лучше его, но он не может понять, что он делает не так.

Был еще один игрок, который закончил почти на равных после 100 000 рук. Также в этой симуляции было еще три игрока, у которых проигрыш составил как минимум 1000 единиц. Интересно составить сюжеты как с точки зрения казино, так и с точки зрения игрока для каждого из этих игроков.

Вот еще 25 игроков (опять же, нажмите на изображение, чтобы увеличить его):

Казино ничего не может сделать с разнообразием результатов игроков. Нет ничего, что игроки могут сделать, чтобы выбрать свою удачу. Некоторые игроки будут удачливыми, другие будут неудачливыми. Казино не должно отступать или исключать победителей. Победившие игроки не должны обманывать самих себя.

Когда я показал эти симуляции вице-президенту по маркетингу крупного международного казино, она спросила, неизбежно ли каждая линия в итоге должна сойтись к прямой линии посередине графика. Она верила, что в долгосрочной перспективе результаты каждого игрока должны быть примерно равны его теоретическому проигрышу. Другими словами, победители должны проигрывать, а проигравшие должны побеждать. Но нет. Затем она спросила, будут ли проигрывающие и побеждающие игроки продолжать проигрывать и побеждать со схожей скоростью. Опять же, нет. Не только сотрудники казино и службы безопасности иногда делают ошибки.

В будущем результаты не зависят от прошлых результатов. Ничто из того, что игрок сделал в прошлом, не имеет никакого значения для его результатов в будущем. Это верно как для средних игроков, так и для игроков с идеальной базовой стратегией. По завершении 100 000 рук каждый игрок подвергается таким же вероятностям будущего, как и каждый другой игрок. Карты не имеют памяти. Признание игрового заблуждения о том, что прошлое имеет значение для настоящего, является частью недостатков эволюционного устройства человеческого разума.